Quadratische Funktionen
Quadratische Funktionen sind ein zentrales Thema in Klasse 8. Sie beschreiben Zusammenhänge, die nicht gleichmäßig verlaufen – sondern gekrümmt. Diese Seite erklärt das Thema so, dass Eltern es sicher weitergeben können.
Was ist eine quadratische Funktion?
Eine quadratische Funktion hat die Form:
f(x) = ax² + bx + c
- a bestimmt die Öffnung und Richtung der Parabel
- b beeinflusst die Lage der Parabel
- c ist der y‑Achsenabschnitt
Die Parabel – der Graph einer quadratischen Funktion
Der Graph einer quadratischen Funktion ist immer eine Parabel. Sie kann:
- nach oben geöffnet sein (a > 0)
- nach unten geöffnet sein (a < 0)
Beispiel: f(x) = x² → nach oben geöffnet
Beispiel: f(x) = –2x² → nach unten geöffnet
Der Scheitelpunkt
Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt der Parabel. Er ist besonders wichtig, weil er die Form und Lage der Parabel bestimmt.
Allgemeine Form: f(x) = ax² + bx + c
Formel für den Scheitelpunkt:
xS = –b / (2a)
yS = f(xS)
Beispiel aus dem Alltag
Ein Ball wird geworfen. Seine Flugbahn ist eine Parabel:
Der höchste Punkt der Flugbahn ist der Scheitelpunkt.
Die Öffnung zeigt nach unten (a < 0).
Nullstellen
Nullstellen sind die Punkte, an denen der Graph die x‑Achse schneidet. Sie sind wichtig, weil sie zeigen, wann ein Wert „null“ wird.
Nullstellen berechnet man mit der pq‑Formel oder der Mitternachtsformel.
pq‑Formel (wenn a = 1)
x = –p/2 ± √((p/2)² – q)
Mitternachtsformel (allgemein)
x = (–b ± √(b² – 4ac)) / (2a)
Typische Fehler von Kindern
- b und a verwechseln
- Vorzeichenfehler bei der Scheitelpunktformel
- Wurzel falsch berechnen
- Parabel „krumm“ zeichnen, aber ohne Bezug zu a, b und c
- Nullstellen falsch einsetzen
So erklären Sie es Ihrem Kind
1. Nutzen Sie echte Beispiele.
Ballwurf, Springbrunnen, Brückenbögen – alles Parabeln.
2. Zeigen Sie die Bedeutung von a.
„a“ entscheidet, ob die Parabel nach oben oder unten zeigt.
3. Lassen Sie Ihr Kind den Scheitelpunkt berechnen.
Kleine Erfolgserlebnisse lösen Blockaden.
4. Zeichnen Sie gemeinsam eine Wertetabelle.
Kleine Übung
- Bestimmen Sie den Scheitelpunkt von f(x) = x² – 4x + 3
- Berechnen Sie die Nullstellen von f(x) = x² – 5x + 6
- Zeichnen Sie die Parabel f(x) = –2x² + 4x
Lösungen anzeigen
- f(x) = x² – 4x + 3 → xS = 2 → yS = –1 → Scheitelpunkt: (2 | –1)
- f(x) = x² – 5x + 6 → Nullstellen: x = 2 und x = 3
- f(x) = –2x² + 4x → Öffnung nach unten, Scheitelpunkt bei x = 1